la circunferencia

Cuadrilátero inscrito e inscriptible

Cuadrilátero inscrito e inscriptible
En un triángulo, siempre es posible dibujar un círculo que pase por sus vértices, (círculo circunscrito) y otro tangente a sus lados (círculo inscrito), pero en un cuadrilátero, en general esto no es posible, si en algunos casos particulares.

Cuadrilátero inscrito e inscriptible

Se dice que un cuadrilátero cuyos vértices son puntos de un círculo está inscrito en él. Un cuadrilátero es inscriptible si hay un círculo que contiene sus cuatro vértices.

Cuadriláteros inscritos

Si un cuadrilátero está inscrito en un círculo, sus ángulos opuestos son suplementarios. Y recíprocamente, cualquier cuadrilátero con los ángulos opuestos suplementarios es inscriptible.

  • La “demostración” gráfica es simple.
  • El ángulo A es la mitad del arco BCD,
  • El ángulo C es la mitad de BAD.
  • Como BCD + BAD es un círculo completo = 360º, A+C = 180º.

TEOREMA DE PTOLOMEO

Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo, entonces la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales:

AB * CD + AD * BC = AC * BD

teorema
TEOREMA DE PASCAL

Este teorema es mucho más amplio, y aquí presentamos la particularización al cuadrilátero inscrito en la circunferencia.

En un cuadrilátero inscrito, se alinean los dos puntos de intersección de los lados opuestos y los dos puntos de intersección de las tangentes en los vértices opuestos.

  • O: para cada lado (AB) del cuadrilátero:
  • Se alinean la intersección (E) de AB con CD, la intersección (G) de BC con la tangente a la circunferencia en A, y la intersección (F) de AD con la tangente en C.

pascal

TEOREMA DE JAPÓN

Dado un cuadrilátero inscrito, podemos triangularlo de dos maneras diferentes.

La suma de los radios de los círculos inscritos es independiente de la triangulación elegida.

Los cuatro centros forman un rectángulo.

Esta afirmación incluye un caso particular (cuadriláteros) del primer teorema japonés y del segundo teorema japonés.

japones

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