divisibilidad

Divisibilidad

Divisibilidad
La gente necesita un conjunto de reglas comunes para realizar cálculos básicos. ¿Qué significa 3 + 5 – 2l? ¿Es 16 o 13? Tu respuesta depende de cómo entiendas el orden de las operaciones, un conjunto de reglas que te dicen el orden en el que la suma, la resta, la multiplicación y la división deben realizarse en un cálculo. Los matemáticos han desarrollado un orden estándar que nos dice qué operaciones realizar primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener diferentes respuestas al mismo problema.

Divisibilidad

Cuando se trata de la divisibilidad de los números, no se dice nada sobre los diferentes valores que se pueden tomar al dividir a por b. Digamos que a = bc, y también a = bc1 que nos permite deducir

bc = bc1 ( a1) o el mismo b(c-c1) = 0, en el caso de que b sea diferente de 0, c= c1. Se establece la unicidad del cociente. Sin embargo, si b = 0, ciertamente, que a = 0 y la igualdad a1, se cumple para cualquier valor de c. De modo que 0 sólo es divisible por 0, en tal caso el cociente es indeterminado.

Propiedades de la Divisibilidad

  • Reflexivo. Cada número es divisible por sí mismo. a|a.
  • Transitivo. a|b y b|c implica a|c.
  • Asimétrico. Si a|b y b|a, entonces a = b o a = -b.
    Si b | a y |b| >♀|a |, entonces a = 0.
    Si b | a y a diferente de 0, entonces |b| <♀|a |.
    Así que la b a es necesaria y suficiente para que divida♀.

La última propiedad permite ver sólo el caso cuando el divisor es positivo. Además, la divisibilidad de cualquier número entero está restringida a los números enteros no negativos.

Nomenclatura y división

Centrándonos en los números no negativos, podemos expresar como un número primo, el entero no negativo que tiene exactamente dos divisores: el mismo y el 1. Por ejemplo: 11, 13, 14, 19, etc.

Un número que no es ni primo ni 1 se llama un número compuesto. 4, 16, 64, 256, etc.

El número natural 1 no se considera primo.

El conjunto de números enteros no negativos se divide en el conjunto de números primos, el conjunto de números compuestos y el conjunto de unidades de 1.

Principios fundamentales

Los principios fundamentales de la divisibilidad son ciertas propiedades que sirven de base para la deducción, para el cumplimiento de las condiciones que debe cumplir un número para ser divisible por otro.

I. Si un número divide a varios otros, divide su suma.

II. Si un número divide a otros dos, divide su diferencia.

III. Si un número divide a otro, divide cualquier múltiplo del mismo.

IV. Si los sumandos no son divisibles por un número, la suma puede, sin embargo, ser divisible de acuerdo con lo siguiente:

V. Si al dividir dos números dados por un tercero las divisiones no son exactas, pero el resto de esas divisiones son iguales, la diferencia de esos números será divisible por el tercero.

VI. Si un número divide el dividendo y el divisor, divide el resto.

VII. Si un número divide al divisor y al resto, también divide el dividendo.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de forma sencilla, sin necesidad de hacer una división:

  • El número termina en cero(0) o en un número par
  • La suma de sus cifras es un múltiplo de 3
  • El número formado por los dos últimos dígitos es un múltiplo de 4
  • La última cifra es 0 o 5
  • El número es divisible entre 2 y 3.
  • Para los números de 3 dígitos: El número formado por los dos primeros dígitos se resta del último multiplicado por 2. Si el resultado es un múltiplo de 7, el número original es también un múltiplo de 7.
  • Para números de más de 3 dígitos: Divídanse en grupos de 3 dígitos y apliquen los criterios anteriores a cada grupo. Alternar la suma y la resta del resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.
  • El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8
  • La suma de sus números es un múltiplo de 9
  • La última cifra es 0
  • Sumando las cifras (del número) en posición impar en un lado y las que están en posición par en el otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por esto. Si el número tiene dos dígitos será un múltiplo de 11 si esos dos dígitos son iguales. Si el número tiene dos dígitos será un múltiplo de 11 si esos dos dígitos son iguales.
  • El número es divisible entre 3 y 4
  • Para los números de más de 3 dígitos: Divídanse en grupos de 3 dígitos, sumen y resten alternativamente los grupos de derecha a izquierda y apliquen los criterios anteriores al resultado obtenido. Si es un múltiplo de 13, el número original es también un múltiplo de 13.

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