exponencial

Ecuación e Inecuación Exponencial

Ecuación e Inecuación Exponencial
Una ecuación exponencial es aquella en la que lo desconocido aparece sólo en los exponentes de las potencias de bases constantes. Lo desconocido puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro de la ecuación. Es decir, se eleva una constante a una función de la desconocida para ser despejada, normalmente representada por x. Para resolver estas ecuaciones se utilizan las propiedades de la potenciación, el enraizamiento de los logaritmos y el cambio de la desconocida por otra.

Ecuación Exponencial

Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponentes, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece lo desconocido, x. En esta sección resolveremos las ecuaciones exponenciales sin usar logaritmos.

El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes.

Para conseguir una igualdad como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir las raíces como potencias. A veces, tendremos que hacer un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o segundo grado e incluso de un grado superior.

También se pueden resolver aplicando logaritmos, pero dejaremos este procedimiento para las ecuaciones de mayor dificultad en las que los exponenciales tienen bases diferentes y, por lo tanto, no podemos utilizar la técnica anterior de ecualización de exponentes.

Formas de resolución

Las ecuaciones exponenciales más simples cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica son las del tipo af(x) = b y af(x) = bg(x), donde f(x) y g(x) son las expresiones algebraicas de los exponentes en los que aparece el x desconocido.

Ejemplos:

8x = 512
32x = 27

Para resolver una ecuación exponencial, hay que tenerla en cuenta:

  • La base es positiva: a > 0
  • La solución de la ecuación exponencial con la forma af(x)= ag(x) es la solución (o soluciones) de la ecuación f(x) = g(x). Esto se debe a que dos potencias con la misma base son iguales si y sólo si sus exponentes son iguales.
  • Las propiedades de las potencias.

Según el tipo de ecuación exponencial de que se trate, hay varias maneras de resolverla, debido a su nivel de complejidad.

Cómo resolver una ecuación exponencial

  • Por simple inspección, es decir, la parte numérica se desglosa en sus factores primarios.
  • Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad.
  • Realizando correctamente las operaciones indicadas.
  • Comprobando el resultado

Inecuación Exponencial

Una desigualdad en la que la variable aparece por lo menos en el exponente de una potencia se denomina desigualdad exponencial.

Ejemplo:

113x – 1 – 121x > 0

Vídeos de Ecuación e Inecuación Exponencial