Ecuación e inecuación Irracional

Ecuación e inecuación Irracional

Ecuación e inecuación Irracional
Una ecuación irracional es una ecuación en la que aparecen raíces que contienen lo desconocido en su raíz, es decir, lo desconocido está bajo signos radicales. Para resolverlas, ambos lados de la ecuación se elevan al orden de la raíz (al cuadrado, al cubo…). Esto nos obligará a calcular los binomios de Newton como el cuadrado de la suma, por lo que tendremos que escribir la ecuación para que los cálculos no sean complicados (por ejemplo, aislar la raíz en uno de los dos lados de la igualdad).

Ecuación e inecuación Irracional

Este procedimiento aumenta el grado de la ecuación, así que posiblemente estamos añadiendo soluciones. Por eso siempre comprobaremos las soluciones.

Otro problema de esta potenciación, en el caso de las raíces ordenadas de manera uniforme, es que debemos asegurarnos de que las expresiones de los radicales sean positivas o nulas (una vez encontrada la solución) para que la raíz exista.

Método de resolución

En general, es muy difícil señalar cualquier método universal para resolver cualquier ecuación irracional; sin embargo, hay algunos procedimientos que suelen funcionar:

Procedimiento 1

Se logra mediante la liberación de radicales a través de la elevación sucesiva de ambos miembros de la ecuación a la respectiva potencia natural. Hay que tener en cuenta que la elevación a una potencia impar mantiene la ecuación equivalente; en el caso de las potencias pares, se suele obtener una ecuación no equivalente a la original.

Ejemplo:

(1) , donde P(x), Q(x) y R(x) son polinomios. Los valores admisibles de x  son los que cumplen con {\displaystyle P(x)\geq } y   (ya que las raíces son de orden uniforme).

Al cuadrar ambos miembros de la ecuación (1) obtenemos


Después de repetir el cuadrado la ecuación se convierte en algebraica

Procedimiento 2

Consiste en la introducción de nuevas incógnitas, para lo cual se obtiene una ecuación irracional más simple o una ecuación racional.

Ejemplo:

Resolución de la ecuación irracional

El conjunto de valores permitidos en esta ecuación es:

, obtienes la ecuación

o la ecuación equivalente


que puede ser considerada como una ecuación de segundo grado con respecto al estilo de visualización. Al resolver esta ecuación, las soluciones

Por último, la sustitución,

Resolviendo estas ecuaciones, la ecuación irracional propuesta sólo admite una solución: x=2.

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