Ecuación e Inecuación Logarítmica

Ecuación e Inecuación Logarítmica

Ecuación e Inecuación Logarítmica
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que lo desconocido o lo no conocido aparece dentro de un logaritmo. Por ejemplo: log(x+6) = 1 + log(x-3) El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación. La forma de resolverlas es la misma sea cual sea la base del logaritmo, por lo que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base es 10, mientras que no decimos lo contrario

Ecuación e Inecuación Logarítmica

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas se resuelven esencialmente igual que las ecuaciones, actuando en cada ecuación como lo hemos hecho y resolviendo el sistema (ya sin obtener ningún logaritmo). Por ejemplo:

Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas:

x – y = 9

log x + log y = 1

En este caso la primera ecuación ya no tiene logaritmos y la segunda se reduce fácilmente a x-y = 10,

Resolviendo el sistema resultante se obtienen las siguientes soluciones: x = 10; y = 1

Gráficamente, bastará con escribir ambas ecuaciones y el valor de “x” del punto de corte será la solución.

Inecuación Logarítmica

La desigualdad contenida en el número cuyo logaritmo y base del sistema se conocen: loga [f(x)] = p, donde un número real positivo ≠ 1, f > 0; p es cualquier número real. Pero también podemos asumir la forma log [f(x)] a = p, donde f es positivo, no 1, y en un número real positivo y p cualquier número real. En caso contrario, se trata de una inequidad en la que lo desconocido parece estar bajo el signo del logaritmo (en particular en la base de un sistema logarítmico) [1].

Ejemplos

log2 ( 2x -1) < 4
log(5x -7) 729 ≥ 3

Casos concretos

Desigualdad 1

log6 (4x+1) < log6 13

Resolución

Necesariamente 4x +1 > 0, implica x > -1/4 por definición de logaritmo.
El logaritmo con base > 1 crece: 4x+1 <13, luego x<3.
Basado en desigualdades elementales: -1/4 < x <3

Desigualdad 2

log1/5 (7t+1) < log1/*5 (t-2)

Resolución

7t +1 >0
t-2 > 0
7t +1 > t-2

Como solución, sólo se sirve t > 2.

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