Factorización

Factorización
Desde tiempos muy lejanos en cada argumento matemático siempre estuvo presente la teoría de los números, que se basan en la parte algebraica. Como necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones de los polinomios, surgen varios procedimientos de transofrmación de polinomios, que se denominan factorización, en los que se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado. El término factorización proviene de la palabra factor. Es decir, en la factorización vamos a expresar un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.

Factorización

Proceso inverso de multiplicación, por el cual una expresión algebraica racional completa se presenta como el producto de dos o más factores algebraicos.

Factor algebraico o divisor

Un polinomio no constante es un factor de otro cuando se divide exactamente, por lo que también se le llama divisor.

El factor primario racional

Llamamos a eso polinomio que no se puede descomponer en otros factores racionales dentro del mismo campo.

Métodos de factorización

Método de agrupación de factores comunes

  • Factor monomio común: Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos, para lo cual se extrae la expresión repetida elevada a su exponente más bajo
  • Factor común polinomio: Este método se utiliza cuando el polinomio tiene un factor común de 2 o más términos. Normalmente se encuentra después de agrupar los términos y bajo los siguientes criterios:

Según los coeficientes de los términos

  • Método de identificación: Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.
    • Trinomio cuadrado perfecto
    • Diferencia en los cuadrados
    • Suma o diferencia de cubos
  • Hoja única: Se utiliza para factorizar las expresiones trinomiales o las que toman esa forma
  • Doble hoja: Se utiliza para factorizar los polinomios de la forma
    Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F
  • Doble hoja especial: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma
    Ax⁴+ Bx³+ Cx²+Dx+E

    • El término de grado más alto y el término de grado independiente se desglosan y se calcula la suma del producto. A la suma obtenida se añade la expresión necesaria para ver el término central. La expresión agregada es la que se desglosa para comprobar los otros términos del polinomio
  • Método del divisor binomial: Con este método buscamos uno o más factores binomiales primarios.
  • Método de suma y resta: Se inspeccionan los datos, comparándolos con alguna identidad conocida; la mayoría de las veces será necesario aumentar algunos términos, para constituir de manera completa esa identidad sugerida por los datos; naturalmente esos términos añadidos deben ser eliminados también para no alterar el origen. Este método conduce la mayor parte de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.

Método de Identidades Notables

En este caso utilizaremos los equivalentes algebraicos de los productos notables; pero, en el sentido opuesto.

Veamos:

  • x^2 ± 2xy + y^2 = (x ± y)^2
  • x^2 - y^2 = (x + y)(x + y)
  • x^3 - y^3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
  • x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y2)

Factor en el siguiente polinomio:

T(x) = 9x^2 - 1

Resolución:
Noten en este polinomio que es una diferencia de cuadrados.

Démosle la forma:

T(x) = 9x^2 - 1

⇒ T(x) = (3x)^2 - 1^2

Por lo tanto, el polinomio factorizado será:

∴ T(x) = (3x - 1)(3x + 1)

Vídeos de Factorización

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