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Funciones. Dominio y Rango

Funciones. Dominio y Rango
Una función entre dos conjuntos de números es una correspondencia tal que cada número del conjunto inicial corresponde a una sola imagen del conjunto de llegada. Así, en la siguiente figura podemos observar gráficamente el comportamiento de la función de la raíz cuadrada de un número. En el lado izquierdo observamos el conjunto inicial (representado por los valores que asignamos a la variable independiente “X”), en el lado derecho observamos el conjunto final (representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que la raíz cuadrada del valor asignado a “X”) y encima de la flecha se indica la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto inicial en los valores del conjunto final.

Dominio de una función

Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto inicial.

Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisa), leyendo mientras escribimos de izquierda a derecha.

Rango de una función

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función “Y” (variable dependiente), por eso se llama “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a “X”. Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenado), leyendo de abajo hacia arriba. El rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” pertenecientes al Dominio de tal función. La forma más efectiva de determinar el rango consiste en graficar la función y ver los valores que toman “Y” de abajo hacia arriba.

Codominio

El codominio son todos los números reales que conforman el conjunto de valores que la variable “y” puede tomar en un momento dado (los valores que podrían salir).

Operaciones actuales

Las funciones con dominios superpuestos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Si f ( x ) y g ( x ) son dos funciones, entonces para todas las x del dominio de ambas funciones la suma, la diferencia, el producto y la proporción se definen de la siguiente manera.

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )

( fg )( x ) = f ( x ) × g ( x )

Ejemplo de Funciones. Dominio y Rango

Digamos que ) = 2 + 1 y ) = – 4.

Encuentre ( f + g )( ), ( f – g )( ), ( fg )( ) y  .

f + g )( ) = ) + )

          = (2 + 1) + ( – 4)

          = + 2 – 3

f – g )( ) = ) – )

         = (2 + 1) – ( – 4)

         = – + 2 + 5

fg )( ) = ) × )

     = (2 + 1)( – 4)

     = 2 – 8 – 4

Suma de funciones

 

La suma de f y g, una operación real que llamamos (f + g) tal que:

(f + g) (x) = f(x) + g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩ Dom(g)]

Llamamos función nula o función cero a aquella función que asigna a cualquier elemento del dominio el valor 0 como imagen. Lo expresamos con 0.

Se verifica que:

(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)

Por lo tanto, la función nula es el elemento neutro para la suma de funciones.

Producto de funciones

Llamamos producto de f por g, y lo expresamos por (f · g), a la función:

(f · g)(x) = f(x) · g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩Dom(g)]

Llamamos unidad de función, y la expresamos por 1, aquella función que asigna a cada número real el número real 1.

Se verifica que:

(f – 1)(x) = f(x) – 1(x) = f(x)

La función unidad el elemento neutro para el producto de la función.

Cociente de funciones

Llamamos cociente de f y g a otra función real que denominamos por f/g, tal que:

Vídeos de Funciones. Dominio y Rango