Funciones Notables

Funciones Notables

Funciones Notables
En la actualidad, para obtener el valor de una relación trigonométrica de un ángulo dado, se utiliza simplemente una calculadora en la que se introduce el valor del ángulo dado y se evalúa en la relación trigonométrica requerida. Los valores de estas relaciones también pueden obtenerse utilizando triángulos rectos, cuyos ángulos serán los que se deseen encontrar sus relaciones trigonométricas. A veces este método es muy engorroso, ya que hay que realizar bastantes operaciones para crear los triángulos. Sin embargo, hay ángulos en los que es muy fácil; estos ángulos se conocen como ángulos notables.

Funciones notables

En matemáticas, y específicamente en trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirse a procesos o valores que están bien definidos o son muy comunes y, por lo tanto, fácilmente reconocibles y memorizados. En este sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy a menudo en la vida cotidiana. Estos ángulos son los ángulos de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos, aunque no se definen como “significativos”, también son muy comunes.

Para los 3 ángulos notables podemos encontrar las relaciones trigonométricas -seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante- sin conocer las medidas exactas de los triángulos que los contienen, ya que estos ángulos están contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en la geometría, a saber: los triángulos isósceles rectos y los triángulos equiláteros.

Tipos de triángulos

En geometría, un triángulo es un polígono de tres lados que puede ser construido uniendo tres segmentos que se tocan en sus extremos. Cada uno de los puntos de unión entre dos segmentos se llama vértice y la abertura entre cada par de segmentos se llama ángulo. Un triángulo tiene tres vértices y tres ángulos. Finalmente, una de las propiedades de los triángulos que nos interesan es que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180°.

Hay varias maneras de clasificar los triángulos.

Una de ellas es a través de la amplitud de sus ángulos. Un triángulo es un ángulo recto cuando uno de sus ángulos es recto (es decir, mide 90°); ese ángulo está delimitado por un par de lados conocidos como patas, mientras que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Un triángulo es agudo cuando sus tres ángulos interiores son agudos (miden menos de 90°) y obtuso cuando uno de sus ángulos es obtuso (más de 90°).

Otra forma de clasificar los triángulos es por la longitud de sus lados. En esta clasificación, los triángulos son equiláteros cuando sus tres lados tienen la misma longitud; en este caso, los tres ángulos también son iguales. Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados tienen la misma longitud y dos de sus ángulos son iguales. Por último, los triángulos cuyos tres lados tienen longitudes diferentes se llaman escalenos.

Obtención de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°

Antes de encontrar el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables de 30° y 60°, vamos a originar estos ángulos a partir de un triángulo equilátero. El triángulo equilátero que necesitamos es aquel cuyos tres lados tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60° (como siempre ocurre en un triángulo equilátero).

Puesto que tenemos el triángulo equilátero, se formarán dos triángulos a partir de su altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30° y otro de 60°. Finalmente, para obtener el valor de una relación trigonométrica, ya sea de 30° o de 60°, basta con utilizar sus definiciones.

Obtener las funciones trigonométricas para un ángulo de 45°

Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del notable ángulo de 45° utilizaremos un triángulo rectángulo isósceles. En tal triángulo, dos de sus lados tienen la misma longitud, digamos x. Además, como el triángulo es un ángulo recto, uno de los ángulos es de 90°, por lo que los otros dos medirán 45° (recuerde que los triángulos isósceles siempre tienen dos ángulos idénticos).

Para mayor comodidad, asignaremos a la hipotenusa el valor de 1 unidad. A continuación podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de sus piernas. Finalmente, para obtener el valor de las funciones trigonométricas sólo tenemos que utilizar sus definiciones.

Múltiples de ángulos notables

Como ya hemos obtenido los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30°, 45° y 60°, también podemos obtener los valores de las funciones que representan múltiplos de estos ángulos. Para encontrar estas relaciones trigonométricas, utilizaremos los valores que ya hemos encontrado en un triángulo en ángulo recto.

Nos acercaremos a estas definiciones sobre la base del círculo unitario (es decir: un círculo de radio 1), por lo que es útil recordar algunas definiciones:

El seno se define como la relación entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje X y la longitud de ese segmento. En el círculo de unidades, el segmento es el radio y mide 1 unidad, por lo que el seno es igual al valor de la coordenada Y:

sin(θ)=y1=y

La relación inversa del seno es sin-1 y se define como:

sin-1(θ)=1y

El coseno es la relación entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje X y la longitud del segmento. En cuanto al seno, al ser un círculo unitario, el coseno es equivalente a la coordenada X:

cos(θ)=x1=x

La relación inversa del coseno es cos-1 y se define como:

cos-1(θ)=1x

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