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Geometría analítica

Geometría analítica
La geometría analítica es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación, etc. Utiliza técnicas básicas de análisis matemático y álgebra. Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el Plano Cartesiano, que es bidimensional y está compuesto por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y otro de ordenadas (eje y). Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que nos interesan, asignando a cada punto de la misma un lugar puntual de coordenadas (x, y). Así pues, el análisis de la geometría analítica suele implicar la interpretación matemática de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones. O puede ser lo contrario: la representación gráfica de una ecuación matemática. Esta equivalencia se plasma en la fórmula y = f(x), donde f es una función de algún tipo. La geometría analítica es un campo fundamental de las matemáticas que suele formar parte del programa de estudios de las escuelas secundarias.

Historia de la geometría analítica

Se considera que el fundador de este campo de estudio es el filósofo francés René Descartes (1596-1650), con el apéndice titulado “La Geometría” en su famosa obra Discurso sobre el Método.

Sin embargo, en el siglo XI, el matemático persa Omar Khayyam (c.1048-c.1131) empleó ideas similares, que Descartes difícilmente podía conocer. Es decir, ambos probablemente las inventaron por su cuenta.

Debido a la naturaleza hermética de las ideas de Descartes, el matemático holandés Franz van Schooten (1615-1660) y sus colaboradores expandieron, desarrollaron y difundieron la geometría analítica en Occidente. Solía llamarse “Geometría Cartesiana”, para rendir homenaje a su creador, pero ese término hoy en día prefiere ser usado para referirse sólo al apéndice escrito por Descartes.

Aplicaciones de la Geometría Analítica

Los puentes colgantes pueden ser diseñados gracias a la geometría analítica.

La geometría analítica es una de las herramientas conceptuales más útiles de la humanidad, y hoy en día sus aplicaciones se pueden ver en, por nombrar algunos ejemplos:

  • Puentes colgantes. Desde los antiguos puentes colgantes de madera hasta sus versiones modernas con cables de acero, en cada uno de ellos se aplica el principio geométrico de la parábola.
  • Las antenas parabólicas. Las antenas parabólicas para captar la información del satélite tienen la forma de un paraboloide, generado por su reflector que gira sobre el eje, persiguiendo la señal. Gracias a la propiedad de reflexión de la parábola, el plato de la antena puede reflejar la señal del satélite al dispositivo de alimentación.
  • Observación astronómica. Los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse, como dedujo Johannes Kepler (1571-1630), y no un círculo, como creía Copérnico (1473-1543). Tales cálculos sólo eran posibles utilizando la geometría analítica.

Geometría analítica, distancia entre dos puntos

Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras.

Si los puntos tienen la misma ordenada o el mismo abismo, la distancia entre ellos se calcula sin aplicar el teorema.

Ángulo de inclinación

El ángulo de inclinación de una línea es el ángulo que forma con el eje X. La medida del ángulo se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.

La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la línea, que se llama la tangente inversa:
La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo:

m = tan h, o lo que es lo mismo 1/tan (o tangente elevada a -1) de la pendiente es igual al ángulo h.
arco tan (de la pendiente)=ángulo

Ecuaciones de una recta en el plano cartesiano

La ecuación principal de una línea se llama expresión de la forma: y = mx +n.

La geometría analítica de la línea en el plano

La Geometría Analítica consiste en utilizar operaciones de cálculo para resolver problemas de Geometría. En un plano, podemos representar una línea por medio de una ecuación, y determinar los valores que cumplen ciertas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta

Una línea puede ser expresada por una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En esta expresión m se denomina pendiente de la línea y está relacionada con la inclinación que la línea toma respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el término independiente y es el valor del punto en el que la línea corta el eje vertical del plano.

Inclinación de una línea

En línea recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula por la ecuación: De la fórmula de la pendiente se obtiene la ecuación de la línea (ecuación punto-pendiente): Cuando se conoce la pendiente de una línea y las coordenadas de uno de sus puntos, se puede obtener la ecuación de la línea.

Ecuación general de la línea

Esta es una de las formas de representar la ecuación lineal. Según uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un Plano Cartesiano), con las Abscisas (x) y las Ordenadas (y). – Aclaración: Recuerde que es esencial dominar todos los aspectos del Plano Cartesiano porque la ecuación de la línea no tiene existencia conceptual sin un Plano Cartesiano. Conociendo estos dos puntos, todas las líneas del plano, sin excepción, están incluidas en la ecuación: Eje + Por + C = 0, que se conoce como: la ecuación general de la línea recta.

Formas de la ecuación de una línea recta

  • Ecuación de la línea que pasa por el origen: y = mx
  • Ecuación de la línea conocida su pendiente e intercepción del eje y: y = mx + b (pendiente m y intercepción del eje y b).
  • Ecuación de la recta que pasa por un punto y su pendiente conocida: y = mx + (y1 – mx1). Esto indica que la intercepción b con el eje y viene dada por: b = y1 – mx1.
  • Ecuación de la línea que pasa por dos puntos:
  • Ecuación segmentaria de la línea: (Los números a y b son las medidas de los segmentos que la línea intercepta con cada eje, con su signo correspondiente).
  • Ecuación general de la línea: Eje + Por + C = 0

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