Geometría del espacio

Geometría del espacio
Una rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, están el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio expande y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se utiliza ampliamente en las matemáticas, la ingeniería y las ciencias naturales.

Teoría de rectas y planos

Los puntos de cualquier línea en el espacio son de la forma p(t)=po+tU donde po es el punto de la línea y U es un vector en la línea.

Es un parámetro de la línea (todos los puntos están de acuerdo con el parámetro t). Cada línea tiene un infinidad de escenarios, como podemos empezar en cualquier punto de la línea y usar cualquier vector en la dirección de la línea.

Recta y plano

  • Una línea y un plano son paralelos si no se cruzan.
  • Una línea es paralela a un plano si es paralela a una línea contenida en ese plano (criterio de paralelismo de línea y plano).
  • Se dice que una línea intersecta un plano si tiene un punto en común con el plano, entonces pueden suceder dos cosas.
  • La línea es perpendicular a todas las líneas del plano que pasan por su punto de intersección.
  • La línea es perpendicular a al menos una de las líneas que pasan por su punto de intersección.

Espacio

El espacio es el conjunto de puntos en los que hay algunos subconjuntos llamados líneas y otros subconjuntos llamados planos.

Características de los subconjuntos llamados líneas

  • Dos puntos determinan una línea y solo uno.
  • Líneas infinitas pasan por un punto.
  • El conjunto de puntos en una línea se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales, de modo que se conserve el orden.
  • Si dos líneas tienen dos puntos en común, son coincidentes.

Características de los subconjuntos llamados planos

  • A través de tres puntos en el espacio, no ubicados en línea recta, pasa un plano y solo uno.
  • Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una línea común que contiene ese punto (línea de intersección).
  • Si una línea tiene dos puntos en un plano, entonces están contenidos en ese plano.

Las líneas rectas en el espacio

  • Dos líneas en el espacio son paralelas si y sólo si están contenidas en un plano, y son paralelas en ese plano.
  • Dos líneas en el espacio pueden no ser paralelas y no pueden cortarse entre sí; en general, son posibles las siguientes relaciones

Las líneas están en un plano y luego se cortan, o son paralelas

  • Las líneas no están en un plano y por lo tanto no se cortan. En este caso se dice que se cruzan o se deforman.

El criterio de perpendicularidad de la línea y el plano

  • Si una línea es perpendicular a dos líneas en un plano que se cortan en el pie, entonces es perpendicular al plano.

El criterio de paralelismo de la línea y el plano

  • Una línea es paralela a un plano si es paralela a una línea contenida en ese plano.

La distancia de un punto a un plano

  • Si desde un punto se dibuja una perpendicular y varios oblicuos a un plano, la perpendicular es más pequeña que los oblicuos.
  • Llamaremos a la distancia de un punto a un plano la longitud del segmento perpendicular entre el punto y el plano.

Proyección de un oblicuo y ángulo entre un oblicuo y un plano

  • Llamamos a la proyección de un oblicuo AB en un plano α, el segmento A'B que une el pie del oblicuo con el pie del perpendicular descendido desde el mismo punto A al plano α.
  • Llamamos al ángulo entre un oblicuo AB y un plano α, el ángulo ∂ formado por el oblicuo y su proyección sobre el α.

Proyección ortogonal sobre un plano

La proyección ortogonal del punto P en la línea r se llama punto P 'que se obtiene de la intersección de la línea r con el plano que contiene el punto P y es perpendicular a él.

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