Inecuación Polinomial

Inecuación Polinomial
Estos tipos de desigualdades se definen junto con los polinomios. Se discuten las precauciones que deben tomarse para resolverlas. Se establecen los pasos recomendados para resolver este tipo de desigualdad por el método de los signos. Se muestra un ejemplo de cómo se resuelve este tipo de desigualdad por el método visto.

Inecuación Polinomial

Una inequidad polinómica es una inequidad de forma:

a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluye cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

Método para resolver las desigualdades polinómicas

Para resolver una inequidad polinómica, seguiremos los siguientes pasos:

  • Escribir la inequidad en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que toda la expresión del polinomio esté en un lado de la inequidad y cero en el otro lado.
  • Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos en los que el polinomio es igual a cero.
  • Encuentra los intervalos de prueba. Esto se hace determinando los valores en los que cada factor es cero. Estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la línea numérica.
  • Seleccione un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

La solución son todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea verdadera. La solución puede expresarse de diferentes maneras:

  • Como un intervalo
  • En conjunto
  • Gráficamente

Ejemplos de desigualdades polinómicas

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente desigualdad x 5 + 2 x 4 < 3 x 3

Solución:

Paso 1: Escribir la desigualdad en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que toda la expresión del polinomio esté en un lado de la desigualdad y cero en el otro lado.

x 5 + 2 x 4 – 3 x 3 < 3 x 3 – 3 x 3 x 5 + 2 x 4 – 3 x 3 < 0

Paso 2: Factorizar el polinomio. Si no puede ser factorizado, encuentre los puntos donde el polinomio es igual a cero.

x 5 + 2 x 4 – 3 x 2 = x 3 ( x 2 + 2 x – 3 ) = x 3 ( x + 3 ) ( x – 1 )

Paso 3: Encontrar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la línea numérica.

x 3 = 0 x = 0

x + 3 = 0 x = – 3

x – 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccione un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada uno. Para facilitar el cálculo, podemos usar la forma factorizada del polinomio.

polinomial
Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución La solución está compuesta por todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea verdadera. En la tabla anterior, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila son < 0 .

La solución puede expresarse de diferentes maneras:

Expresando la solución como un conjunto:
x x < -3 o 0 < x < 1

Expresando la solución como un intervalo
( – ∞ , – 3 ] ∪ [ 0 , 1 )

Gráficamente

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