los triángulos

Líneas y puntos notables en el triángulo

Líneas y puntos notables en el triángulo
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres líneas que se cortan de dos a dos en tres puntos (que no están alineados). Los puntos de intersección de las líneas son los vértices y los segmentos de línea determinados son los lados del triángulo. Además, dos lados adyacentes forman uno de los ángulos interiores del triángulo, que, como su nombre indica, tiene tres. Y, como es bien sabido, la suma de estos es de 180º. Bien, por encima de los triángulos hay todo un universo matemático de características, propiedades, teoremas y curiosidades. Pero no seré tan ambicioso en esta entrada (sería eterno) y me centraré en hablar de un grupo de líneas y puntos muy importantes, sólo los más conocidos ya que hay muchos más, que se conocen como puntos y líneas notables del triángulo.

Líneas y puntos notables en el triángulo

Entre las líneas notables más conocidas de un triángulo veremos las mediatrices, medianas, alturas y bisectrices; y, en sus puntos notables asociados: el circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro y el exincentro, respectivamente.

Mediatrices y circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las líneas rectas que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados y son perpendiculares a ellos.

La bisectriz perpendicular de cualquier segmento es la ubicación geométrica de los puntos del plano que están equidistantes (a la misma distancia) de los puntos extremos de ese segmento. En el caso del lado de un triángulo, es, por lo tanto, el lugar geométrico de los puntos que son equidistantes de los vértices de ese lado.

Las tres mediatrices del triángulo (hay una para cada lado) se cortan en un punto que está, por lo tanto, a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Esto significa que se puede dibujar un círculo con el centro en ese punto y que pasa por los tres vértices. Esta circunferencia se llama círculo circunscrito, y el centro de la misma es aquel donde se cortan las tres mediatrices circuncéntricas.

Mediatrices y circuncentro

Bisectriz, Incentro y Exincentro

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Hay bisectrices internas (las habituales) y externas a estos ángulos, y son perpendiculares entre sí.

La bisectriz de un ángulo es la ubicación geométrica de los puntos del plano que son equidistantes de los dos lados del ángulo.

Las tres bisectrices interiores del triángulo (hay una para cada ángulo) se cortan en un punto que está, por lo tanto, a la misma distancia de los tres lados del triángulo. Esto significa que se puede dibujar un círculo con el centro en este punto y que es tangente a los tres lados del triángulo. Este círculo se llama el círculo inscrito, y el centro del mismo es donde se cortan las tres bisectrices incentrales.

Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos se encuentran con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos llamados exincentros, que son los centros de los círculos exinscritos del triángulo. Hay 3 exincentros, así como 3 círculos exinscritos. Los círculos exinscritos son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Bisectriz, Incentro y Exincentro

Mediana y baricentro

Las medianas de un triángulo son las líneas rectas que pasan por uno de sus vértices y por el punto medio del lado opuesto a ese vértice.

Las tres medianas de un triángulo están cortadas en un punto llamado baricentro o centroide, G.

El baricentro divide cada mediana en una proporción de 2:1, de modo que la distancia del baricentro a cada vértice es el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto.

Mediana y baricentro

Las Alturas

  • La altura de un triángulo es el segmento perpendicular dibujado por un vértice del triángulo y entre ese vértice y su lado opuesto.
  • Las alturas de un triángulo coinciden en un punto llamado el ortocentro del triángulo.
  • El ortocentro de un triángulo agudo es un punto interior del triángulo.
    alturas

El ortocentro en un triángulo de lenguaje obtuso

  • En el caso de un triángulo obtuso, el ortocentro es un punto fuera del triángulo.
  • En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
  • Los pies de las alturas de un triángulo determinan un triángulo llamado: pedal o triángulo ortogonal del triángulo dado.

Las bisectrices

  • Angulo bisectriz: Es el conjunto de puntos del plano donde se contiene el ángulo equidistante de los lados del ángulo.
  • Como consecuencia, la bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos de igual amplitud.
  • Cada ángulo tiene dos bisectrices, una interna y otra externa. Las bisectrices internas y externas de un ángulo son perpendiculares entre sí.
  • Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se encuentran en un punto equidistante de los lados del triángulo, llamado el incentro del triángulo o el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, y son siempre interiores al triángulo. La equidistancia se llama el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.
  • Cada bisectriz interna y las bisectrices de los otros dos ángulos externos del triángulo coinciden en otros tres puntos que también son equidistantes de los lados (o sus extensiones) del triángulo. Estos puntos se llaman los ex-centros del triángulo y los círculos que determinan: los ex-círculos inscritos del triángulo.

General

  • Una ceviana es un germen de una línea recta que conecta un vértice de un triángulo con el lado opuesto a él. También se conoce como un transversal angular. La mediana, la altura y la bisectriz son cevianas. El nombre Cevian fue introducido por M.A. Poulain, quien lo introdujo en honor a Giovanni Ceva, quien en 1678 formuló el teorema que lleva su nombre: el Teorema de Ceva. Este teorema da la condición necesaria y suficiente para que se corten tres cevianas en un punto.
  • En el triángulo equilátero coinciden todas las líneas y puntos notables tratados, es decir, las medianas, las alturas, las bisectrices y las mediatrices, así como el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro.
  • En el triángulo isósceles la altura respecto a la base es mediana, bisectriz y mediatriz.
  • El ortocentro de un triángulo coincide con el incentro de su triángulo de pedales.
  • Se conoce como la circunferencia de los nueve puntos de un círculo que puede ser construido en cualquier triángulo dado. Su nombre se deriva del hecho de que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos en el mismo triángulo (a menos que el triángulo sea obtuso). Estos nueve puntos son: el punto medio de cada lado del triángulo, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo. La circunferencia de los nueve puntos también se conoce entre otros como la circunferencia de Feuerbach, la circunferencia de Euler, etc.
  • Hay otras líneas y puntos notables del triángulo, a saber
  • La línea de Simson, las líneas y puntos de simio, el punto, ángulo y círculo de Brocard, la línea de Gauss, el punto de Miquel, el círculo de Lemoine, etc.
  • Teoremas importantes relacionados con las líneas y puntos notables del triángulo, colinealidad de puntos o concurrencia de líneas, son los teoremas de Carnot, Ceva, Menelao, Feuerbach, Desargues, Stewart, Steiner, Spieker, etc.

Líneas y puntos notables en el triángulo, problemas