Logaritmos

Logaritmos. propiedades

Logaritmos. propiedades
Los logaritmos se introdujeron en las matemáticas para facilitar, simplificar o incluso hacer posible los complicados cálculos numéricos. Con los logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. A las operaciones, ya conocidas, de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y raíces, añadimos una nueva que llamamos logaritmo.

Logaritmos

Es la operación aritmética en la que, dando un número resultante y una base de potenciación, se debe encontrar el exponente al que debe elevarse la base para lograr el resultado mencionado.

Así como la suma y la multiplicación tienen como operaciones opuestas la substracción y la división respectivamente, la logaritmización es la operación inversa a la exponenciación.

Las propiedades con respecto a una relación de orden

  • Función creciente: si a > 1; 0 < m < n; entonces loga m < logan; cuanto mayor sea el número mayor será el logaritmo.
  • Función decreciente: si 0 < a < 1, 0 < p < q, entonces loga p > loga q; cuanto menor sea el número mayor será el logaritmo.
  • Variación de las bases. 1< a <A, k el número (logaritmo) no varía, entonces logAk < logak, la base más alta el logaritmo más bajo para el mismo número. Así, log2 = 0,30103, ln2 = 0,69315, el logaritmo ordinario de 2 es menor que su logaritmo natural; pero la base e = 2,71828… de los logaritmos naturales es menor que la base 10 de los logaritmos ordinarios.
  • Si a > 1 , la desigualdad loga + loga 10 >= 2

Logaritmos decimales

  • Estos son los que tienen una base de 10. Están representados por el registro (x).
  • Los logaritmos decimales generalmente tienen una parte entera y una parte fraccionaria.
  • La parte entera del logaritmo se llama característica.
  • La parte fraccionaria (que puede ser cero) se llama mantisa.

Logaritmos naturales

  • Son los que tienen una base electrónica. Están representados por ln (x) o L(x).
  • Utilizando los logaritmos nepalíes, se puede definir la función exponencial, con base real a fija y el exponente x, variable; es decir: y = f(x)= ax= exlna

Propiedades de los logaritmos

A primera vista, los logaritmos siempre parecen dificultar las cosas. Por eso es crucial conocer muy bien sus propiedades. Como verán a continuación, las expresiones pueden ser transformadas.

  • Logaritmo de unidad: Si recordamos la propiedad de las potencias llamadas “producto del exponente cero”, podemos afirmar que para cualquier base, el logaritmo -tanto el neperiano como el común- de 1, es siempre 0.
  • Logaritmo de la base: El logaritmo del argumento cuando coincide con la base, es 1.
  • Logaritmo de un producto: Cuando tenemos dos números que se multiplican entre sí, el logaritmo de éstos es igual a la suma de ambos logaritmos (siempre en la misma base).

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