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Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes
Las matrices y los determinantes son herramientas algebraicas que facilitan el ordenamiento de los datos, así como su gestión. Los conceptos de matriz y todos los conceptos relacionados se desarrollaron básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos campos donde los datos se ordenan regularmente y aparecen en situaciones típicas de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

Matrices

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

matrices

En resumen, puede ser expresada como A = (aij ). Cada elemento de la matriz tiene dos subíndices. El
La primera “i” indica la fila en la que se encuentra el elemento, y la segunda “j” indica la columna.
Así que el elemento a23 está en la fila 2 y la columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras
letras mayúsculas.

Tipos de matrices

  • El que tiene todos los elementos cero se llama matriz nula.
  • La matriz de fila se llama la que tiene una sola fila, es decir, su dimensión es 1x n.
  • La matriz de columnas es la que sólo tiene una columna, es decir, su dimensión es mx.
  • Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, su dimensión es n x n.
  • Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Tal matriz se llama matriz diagonal.
  • Por último, si una matriz diagonal tiene sólo uno en su diagonal principal, se llama matriz unitaria o la identidad. Normalmente se representan por In , donde n es el orden o el tamaño de la matriz.

Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de la ciencia como elementos que sirven para clasificar valores numéricos según dos criterios o variables.

Operaciones con matrices

Suma y diferencia

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo con la siguiente regla.

Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, sumamos o restamos los elementos que están en la misma posición, dando como resultado otra matriz del mismo tamaño.

Si las matrices son de diferentes tamaños, no se pueden sumar o restar unas de otras.

Las propiedades de la suma (y la diferencia) de las matrices

  • Conmutativa: A + B = B + A
  • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
  • Elemento neutro: La matriz nula de la correspondiente tama˜no.
  • Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta del cambio de signo de los elementos de A.

Producto por un número real

Dada cualquier matriz A y un número real k, el producto k-A se obtiene multiplicando todos los elementos de A por k, lo que da como resultado otra matriz de igual tamaño. (Obviamente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).

Propiedades

  • Distributivas respecto a la suma de matrices: k-(A + B) = k-A+k-B
  • Distributiva con respecto a la suma de los números: (k + d)-A= k-A+d-A
  • Asociativo: k-(d-A)=(k-d)-A
  • Elemento neutro, número 1: 1-A=A

 Trasposición de matrices

Dada una determinada matriz A, se denomina matriz transpuesta de A, y se representa por At a la matriz resultante del intercambio de las filas y columnas de A.

Propiedades

  • (At)t = A, es decir, la transposición de la transposición es la matriz inicial
  • (A + B)t = En + Bt
  • (k – A)t = k – At

Determinantes

En matemáticas el determinante se define como una forma multilineal alterna en el espacio vectorial. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante de una matriz haciéndolo aplicable en muchos campos. El concepto de determinante o volumen orientado se introdujo para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

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