Números Complejos

Números Complejos
La unidad imaginaria i, es el número que el cuadrado da -1.

Unidad Imaginaria

Hay ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de números reales, por ejemplo

x^2 + 5 = 0

no tiene solución en R, ya que no hay un número real que al cuadrado dé -5. Para resolver los problemas en los que aparecen raíces cuadradas de números negativos, es necesario ampliar el conjunto de números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C, de modo que R sea un subconjunto de C y que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las operaciones y todos los números tengan una raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.

Forma Binómica

Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son dos números reales cualesquiera y i es la unidad imaginaria, se llama número complejo.

a+bi es la forma binomial del número complejo; a es la parte real y b es la parte imaginaria.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

En primer lugar, consideremos un sistema de coordenadas cartesianas donde tienes dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen. El eje de las abscisas que se llama el eje real y el eje de ordenadas que se llama el eje imaginario.

Cada complejo z = a+bi está representado por un vector con origen en el origen de coordenadas 0= (0,0) y final en el punto P(a, b).

  • a está representado en el eje real.
  • b se representa en el eje imaginario.

Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a.

Si a=0, el complejo a+bi tiene sólo una parte imaginaria, se llama imaginario puro.

Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0.

Operaciones con Números Complejos

 

OPUESTO Y CONJUGADO DE UN COMPLEJO

Si tienes un número complejo Z = a + bi, entonces
su opuesto es -Z = -a -bi y su conjugado es Z = a -bi.

LA SUMA Y EL PRODUCTO DE LOS COMPLEJOS EN FORMA DE BINOMIO

Si Z1 = a + bi y Z2 = c + di son dos números complejos, entonces
su suma es: Z1+ Z2 =(a + bi)+(c + di)= (a+c)+(b+d)i

su producto es: Z1 - Z2=(a + bi)-(c + di)= (ac-bd)+(bc+ad)i

La diferencia Z1- Z2= =(a + bi)+(-c - di) = (a-c)+(b-d)i

EL REVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO. RELACIÓN DE NÚMERO COMPLEJO

Si Z = a+ bi donde z ‡ 0, es su inverso:
1/ Z = a /( a2 + b2) - b /( a2 + b2) i ,

puede comprobar fácilmente que el producto de ambos es 1.

Si Z1 = a + bi y Z2 = c + di, son dos números complejos, siendo Z2 ‡ 0,

su cociente es:

Z1 / Z2 = (ac+bd)/( a2 + b2) + (bc-ad) /( a2 + b2)

Vídeos de Números Complejos

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