Productos Notables

Productos Notables I

Productos Notables I
Los productos notables son las operaciones algebraicas, en las que se expresan las multiplicaciones de los polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, pero con la ayuda de ciertas reglas, se pueden encontrar los resultados. Los polinomios se multiplican entre si, por lo tanto, es posible que tengan un gran número de términos y variables. Para acortar el proceso se utilizan las reglas de los productos notables, que permiten hacer multiplicaciones sin tener que ir término por término.

Productos notables

Cada producto notable es una fórmula resultante de una factorización, compuesta de polinomios de varios términos como binomios o trinomios, llamados factores.

Los factores son la base de una potencia y tienen un exponente. Cuando se multiplican los factores, los exponentes deben ser sumados.

Hay varias fórmulas de producto notable, algunas son más utilizadas que otras, dependiendo de los polinomios, y son las siguientes:

Binomio al cuadrado

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresado como una potencia, donde los términos se suman o se restan:

a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más dos veces el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b)

Ejemplo 1

(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5)² = x² + 10x+ 25.

Ejemplo 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

Binomio de una resta al cuadrado

Se aplica la misma regla del binomio de una suma, sólo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

(a – b)2 = [(a) + (- b)]2

(a – b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Ejemplo 1

(2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62

(2x – 6)2 = 4×2 – 2 (12x) + 36

(2x – 6)2 = 4×2 – 24x + 36.

Producto de los binomios conjugados

Se conjugan dos binomios cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el primero es positivo y el segundo negativo o viceversa. Se resuelve cuadrando cada monomio y restándolos. Su fórmula es la siguiente:

(a + b) * (a – b)

En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.

Ejemplo

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2.

Producto de dos binomios con un término común

Es uno de los productos más complejos y raramente utilizados, porque es una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

  • El cuadrado del término común
  • Más la suma de los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.

Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y se desarrolla como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.

Polinomio al cuadrado

En este caso hay más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se cuadra y se suma con el doble de la multiplicación de un término por otro; su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado.

Binomio de cubo

Es un producto notablemente complejo. Para desarrollarlo, el binomio se multiplica por su cuadrado, de la siguiente manera:

Para el binomio al cubo de una adición:

  • El cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primer término por el segundo término.
  • Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
  • Más el cubo del segundo término.

Para el binomio cúbico de una resta:

El cubo del primer término, menos tres veces el cuadrado del primer término por el segundo término.

  • Más tres veces el cuadrado del primer término para el segundo término.
  • Menos el cubo del segundo término.

Cubo de un trinomio

Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable porque tienes tres términos al cubo, más tres veces cada término al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos.

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