Aritmética

Progresiones: Aritmética y Geométrica

Progresiones: Aritmética y Geométrica
Cada secuencia ordenada de números reales se llama secuencia. Dentro del grupo de sucesiones, hay dos que son particularmente interesantes por el principio de regularidad que nos permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una especie de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene añadiendo al anterior una cantidad fija predeterminada llamada diferencia. Llamando a esta diferencia d, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en ella, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.

an = a1 + (n – 1) d

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden considerarse como correspondencias unívocas entre el conjunto de números naturales N y el conjunto de números reales R.

La suma de los términos de una progresión aritmética

Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotado por a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, y así sucesivamente, son equidistantes, de modo que todos estos pares suman la misma cantidad.

Generalizando esta consideración, tenemos que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a:


Interpolación de términos en una progresión aritmética

Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros términos m, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b son los extremos.

La diferencia de esta progresión se determinará según la siguiente fórmula:


Progresiones geométricas

Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido conocido como ratio.

El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:

an = a1 × rn-1

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:


Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, porque si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería Sn = a1 × n.

Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende al infinito. Por otro lado, si r < 1, cada término será más pequeño que el anterior, y la progresión se acercará a 0 a medida que el número de sus términos aumente. Cuando | r | < 1, se puede mostrar que la suma se convierte en:


Por otro lado, es fácil obtener que el producto de los primeros n términos de una progresión geométrica es igual a


Interpolación de términos en una progresión geométrica

Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar términos m, llamados medios geométricos o proporcionales, de manera que todos ellos (los términos m + 2 resultantes) constituyan una nueva progresión geométrica de la razón r determinada como:

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