Proporcionalidad de segmentos

Proporcionalidad de segmentos
Es la relación de igualdad que existe entre dos razones. Por lo tanto, dos razones proporcionales se entenderán como dos razones iguales.

Proporcionalidad de segmentos

Llamamos proporcionalidad del segmento a la aplicación existente entre el conjunto de las cantidades de longitud en sí, de modo que la aplicación es biectiva, mantiene el orden, el mismo y también mantiene la correspondencia con la operación de suma.

Teorema fundamental de proporcionalidad:Dadas dos líneas r y s que se cortan en el punto O y dadas dos longitudes a y b en cada una de las líneas respectivamente de tal manera que determinan los segmentos OA=a y OB=b, como podemos ver en la imagen. Dibujando la línea que une los puntos A y B y traza una línea paralela a ella que corta las líneas r y s en el punto X y X' respectivamente, entonces el segmento OX se empareja con el segmento OX'.

Por lo tanto, se cumple la siguiente relación de proporcionalidad.

Teorema de Thales

Si dos líneas secantes son cortadas por dos líneas paralelas, entonces los segmentos

que determinan los paralelos en una de las secantes son proporcionales a los segmentos

del otro desecante. Esto es todo:

Si AB y A'B' son paralelos entonces

Recíprocamente, si   entonces AB es paralelo a A'B'.

Y además:

Observaciones:

  • Anteriormente el Teorema de Tales fue estudiado usando otra notación y sin añadir la última proporción de la declaración.
  • Esta última proporción suele aparecer en casi todos los libros de texto de educación secundaria, aunque no aparece en la misma proposición en los Elementos de Euclides.
  • En este nuevo enfoque sí la incluimos por su utilidad en el concepto de similitud que se desarrollará más adelante.
  • La demostración de la primera parte del teorema ya fue explicada en otra unidad didáctica, por lo que sólo tendríamos que demostrar que la última proporción se cumple.

Teorema de la bisectriz interior 

En cualquier triángulo, la bisectriz de un ángulo interno divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

Teorema de la bisectriz exterior

La bisectriz de un ángulo externo de un triángulo divide la extensión del lado opuesto en dos segmentos cuyas dimensiones son proporcionales a los lados que forman el ángulo interno adicional del ángulo externo.

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