Puntos Notables

Puntos Notables
Los elementos notables de un triángulo son aquellos puntos, líneas o círculos definidos en relación con ese triángulo y que tienen propiedades geométricas notables.

Puntos Notables

Los puntos salientes de un triángulo son:

  • Circentro
  • Incentro
  • Baricentro
  • Ortocentro

Circuncentro

Como se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz en un lado de un triángulo equidistante de los vértices que definen ese lado. Entonces, si llamamos O al punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O es equidistante de los vértices A y B (porque está en la bisectriz perpendicular de AB) y de los vértices B y C (porque está en la bisectriz perpendicular de BC). Luego es equidistante de A, B y C.

Cuando es equidistante de los tres vértices del triángulo, en particular, equidistante de A y C, lo que demuestra que también estará en la bisectriz perpendicular del lado de AC y, además, será el centro de un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

De lo anterior, concluimos:

  • Las tres mediatrices de un triángulo están cortadas en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que se llama CIRCUENTRO.
  • El punto de corte de las tres mediatrices perpendiculares es el centro de un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos el círculo circunscrito.
  • Obsérvese el circulo circunscrito en los casos en que el triángulo sea un triángulo recto, agudo o obtuso, respectivamente.

puntos notables

En vista de los dibujos anteriores, podemos afirmar la siguiente propiedad:

  • "La circunferencia de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
  • "La circunferencia de un triángulo agudo está dentro del triángulo."
  • "La circunferencia de un triángulo obtuso está en el exterior del triángulo.

Incentro

Como se vio en la lección anterior, cualquier punto en la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidistante de los lados que definen ese ángulo. Entonces, si llamamos a I el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I es equidistante de los lados AB y AC (porque está en la bisectriz de A) y de los lados AB y BC (porque está en la bisectriz de B). Luego es equidistante de los lados AB, BC y CA.

Por equidistante de los tres lados del triángulo, en particular, equidistante de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de un círculo tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluimos:

  • Las tres bisectrices de un triángulo están cortadas en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que se llama INCENTRO.
  • El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un círculo tangente en los tres lados del triángulo, que llamaremos el círculo inscrito.
  • Obsérvese el INCENTRO en los casos en que el triángulo es un rectángulo, un triángulo agudo o un triángulo de ángulo obtuso, respectivamente.

incentro

"El centro de cualquier triángulo está siempre dentro del triángulo."

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que las mediatrices y bisectrices, se cortan en un punto único, que llamaremos BARICENTRO.

baricentro

Como pueden ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, ángulo agudo o ángulo obtuso). En cualquier triángulo, el baricentro está siempre dentro del mismo, además, es el centro de gravedad del triángulo y será denotado por G.

 

"El baricentro de un triángulo es un punto dentro del triángulo, que está dos veces más lejos de cada vértice que el punto medio del lado opuesto."

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya hemos demostrado que las mediatrices de tal triángulo fueron cortadas en un solo punto, llamado el circuncentro.

ortocentro

Ahora, si llamamos a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideramos el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

ortocentro 2

  • Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.
  • La bisectriz perpendicular del lado A'B' es la que pasa por su punto medio (C), entonces también será perpendicular a AB (porque es paralelo a A'B'). Por lo tanto, considerando el triángulo ABC, esta línea es perpendicular a AB pasando por su vértice C, o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC con respecto al lado AB.
  • Un razonamiento análogo nos lleva a deducir que la bisectriz perpendicular del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC con respecto al lado AC. Y, la bisectriz perpendicular del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC con respecto al lado BC.

ortocentro 3

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo fueron cortadas en un solo punto, podemos deducir:

  • Las alturas de cualquier triángulo están cortadas en un solo punto, que llamaremos ORTOCONTENIDOR, y que denotaremos por H.
  • Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo similar a los dados, y que tiene los vértices del primero como los puntos medios de sus lados.

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