triangulo

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
La relación métrica del triángulo oblicuo es el teorema euclidiano que se aplica a que el cuadrado de uno de los lados de un triángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces el lado relativo a la altura por la proyección del lado opuesto al que se encuentra, y otro postulado euclidiano es que en un triángulo obtuso, el lado opuesto del ángulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las patas más dos veces la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores. Estos dos postulados dan lugar a la relación métrica del triángulo oblicuo.

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

El teorema de Euclides demuestra las propiedades de un triángulo rectángulo dibujando una línea que lo divide en dos nuevos triángulos rectos que son similares entre sí y, a su vez, son similares al triángulo original; entonces, hay una relación de proporcionalidad.

Euclides fue uno de los más grandes matemáticos y geómetras de la antigüedad que hizo varias demostraciones de importantes teoremas. Uno de los principales es el que lleva su nombre, que ha tenido una amplia aplicación.

Esto ha sido así porque, a través de ese teorema, explica de manera sencilla las relaciones geométricas existentes en el triángulo rectángulo, donde las patas del triángulo se relacionan con sus proyecciones en la hipotenusa.

Teorema de la altura

Este teorema afirma que en cualquier triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa es la media geométrica proporcional (el cuadrado de la altura) entre las proyecciones del catéter que determina en la hipotenusa.

Es decir, el cuadrado de la altura será igual a la multiplicación de las patas proyectadas que forman la hipotenusa:

hc2 = m * n

teorema e

Teorema del Cateto

En este teorema se establece que, en cada triángulo rectángulo, la medida de cada pata será la media geométrica proporcional (el cuadrado de cada pata) entre la medida de la hipotenusa (completa) y la proyección de cada una de ellas sobre ella:

b2 = c * m

a2 = c* n

cateto

La relación entre los teoremas de Euclides

Los teoremas de la altura y los teoremas de las piernas están relacionados entre sí porque la medida de ambos se hace con respecto a la hipotenusa del triángulo rectángulo.

A través de la relación de los teoremas de Euclides también se puede encontrar el valor de la altura; esto es posible limpiando los valores de m y n del teorema de la pierna y reemplazándolos en el teorema de la altura. De esta manera se cumple que la altura es igual a la multiplicación de las piernas, dividida por la hipotenusa:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c

a2 = c * n

n =a2 ÷ c

En el teorema de la altura, m y n son reemplazados:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

hc = (b2 * a2) ÷ c

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos se utiliza para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no un rectángulo) cuando se conocen las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido (LAL) o se conocen las longitudes de los tres lados (LLL). En cualquiera de estos casos, es imposible utilizar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda ser resuelta.

La ley de los cosenos establece:

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C 

Esto es similar al teorema de Pitágoras, excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual a 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así pues, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B o

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A 

Teorema de Heron

La fórmula de Heron nos permite calcular el área de un triángulo conocido por sus tres lados.

Por lo tanto, no es necesario conocer ni la altura ni ninguno de los ángulos.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Dado el triángulo ABC, rectángulo en A, determinar la medida de AC y AD, si AB = 30 cm y BD = 18 cm

ejercicio

Solución

En este caso tenemos las medidas de una de las patas proyectadas (BD) y una de las patas del triángulo original (AB). De esta manera, el teorema de la pierna puede ser aplicado para encontrar el valor de la pierna BC.

AB2 = BD * BC

(30)2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

El valor de la pierna de CD puede ser encontrado sabiendo que BC = 50:

CD = BC – BD

CD = 50 – 18 = 32 cm

Ahora es posible determinar el valor del gato AC, aplicando de nuevo el teorema del gato:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

Para determinar el valor de la altura (AD), se aplica el teorema de la altura, ya que se conocen los valores de las piernas proyectadas CD y BD:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Ejemplo 2

Determinar el valor de la altura (h) de un triángulo MNL, rectángulo en N, conociendo las medidas de los segmentos:

ejercicio 2

 

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solución

 

Tenemos la medida de una de las patas proyectadas en la hipotenusa (MP), así como las medidas de las patas del triángulo original. De esta manera, el teorema de las piernas puede aplicarse para encontrar el valor de la otra pierna proyectada (LN):

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Como el valor de la pierna y la hipotenusa ya se conoce, a través de la relación de los teoremas de altura y pierna, se puede determinar el valor de la altura:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 * a2) ÷ c.

h = (102 * 52) ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

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