sistemas de ecuaciones

Sistema de Ecuaciones

Sistema de Ecuaciones
En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen esas operaciones. En un sistema algebraico de ecuaciones las incógnitas son valores numéricos inferiores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo en el que se basan las ecuaciones), mientras que en una ecuación que diferencia las incógnitas son funciones o distribuciones de un determinado conjunto predefinido. Por lo tanto, una solución de tal sistema es un valor o una función que se sustituye en las ecuaciones del sistema, haciendo que se cumplan automáticamente sin contradicción. En otras palabras, el valor que sustituimos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas suelen representarse con las últimas letras del alfabeto latino o, si son demasiadas, con subíndices.

Sistema de Ecuaciones

La forma genérica de un sistema de m, ecuaciones algebraicas y n, incógnitas es la siguiente:

donde , “F” son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclidiano , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de esa solución, compruebe la ecuación.

Clasificación de los sistemas

Un sistema de ecuaciones en puede ser clasificado según el número de soluciones o cardinales del conjunto de soluciones S, según este criterio un sistema puede ser

Sistema compatible cuando soporta alguna solución en la que se puede dividir más:

  • Sistemas compatibles determinados cuando soportan un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación,.
  • Los sistemas compatibles son indeterminados cuando hay un número infinito de soluciones que forman una variedad continua..
  • Los sistemas incompatibles cuando no se puede encontrar ninguna solución, el estilo de visualización está barnizado..

Métodos gráficos

Los métodos gráficos “no son buenos”, son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas importantes. Además, generalmente se limitan a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.

Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real suelen aparecer como uno de los cinco tipos diferentes que se mencionan a continuación. Tienen una relación con el número de soluciones:

  • Los sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se intersectan entre sí. Este tipo de sistema de ecuaciones se considera el normal. Normalmente tiene un número finito de soluciones, cada una formada por las coordenadas de los puntos de intersección.
  • Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0.
  • Se representan gráficamente como un conjunto de líneas que nunca se intersectan entre sí, como líneas paralelas.
  • Sistemas de ecuaciones en los que ambos se simplifican a una identidad (por ejemplo: x = 2x – y o y – x = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que se representa gráficamente como todos los puntos del plano que representa la solución.
  • Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede transformarse en otra mediante manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente la superposición de líneas o curvas, etc. Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser descartada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones.
  • Los sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad Es por lo tanto redundante y puede ser descartada, dependiendo del tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los otros es una solución a la ecuación que se encuentra a continuación, generalmente un número infinito.
  • La ecuación x2 + y2 = 0 puede pensarse como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de la normal de un círculo que contiene un número infinito de puntos. Este y otros casos similares muestran por qué los dos últimos tipos descritos anteriormente necesitan la calificación de “normal”. Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dado por x = | x |, y = | y | (donde la notación | – | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones forman un cuadrante del plano x – y. Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solución representa un rayo.

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