Sistemas de numeración

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración
Debido a que los números naturales son infinitos, es necesario buscar un conjunto de palabras, símbolos y reglas que nos permitan determinar los números naturales y viceversa; al mismo tiempo que se puede trabajar con ellos.

Sistemas de numeración

Llamamos al conjunto de reglas y convenciones que usamos para nombrar los números Sistemas de Numeración. Los símbolos se llaman números y el cardinal del conjunto de estos números se llama el nombre base. De acuerdo con sus características podemos clasificarlos en tres tipos:

  • Sistema de numeración aditiva: se caracteriza por tener un símbolo para referirse a las unidades, otro para las decenas, otro para las centenas, etc., de modo que es necesario sumar todos los símbolos para encontrar el número en cuestión. No importa en qué posición se encuentren, sólo la cantidad y su cantidad. Un ejemplo de este sistema es el egipcio.
  • Sistema de numeración multiplicativa: es una variación del sistema aditivo. Este sistema necesita un símbolo para referirse a las cifras del 0 al 9 (según la base, sería en base 10) y un símbolo para las decenas, centenas, etc… de modo que una cantidad se multiplica por otra, sumando finalmente el resultado.
  • Sistema de numeración posicional: cada dígito tiene un valor dependiendo del valor del dígito y de la posición que ocupa. Este tipo de sistema es el que utilizamos, conocido como sistema de numeración decimal.

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Los sistemas básicos de numeración a se caracterizan por:

  • Usar los dígitos: 0,1,2,……,a-1.
  • Cada uno a unidades de un orden, forman una unidad del orden inmediatamente superior.
  • El valor de cada dígito está dado por el lugar que ocupa. Esta característica se llama el principio del valor relativo.

Teorema fundamental de la numeración

Cada número natural basado en b>1 puede ser escrito únicamente como:

con np’s distintos de cero, y cada np<b.

CAMBIOS EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN

  • Para pasar de cualquier base a una base decimal: Utilizamos el teorema anterior, operando y encontrando el resultado.
  • Para ir del sistema decimal a cualquier base: Haremos las divisiones sucesivas del número y de cada cociente por la base a la que queremos ir. El número vendrá dado por los restos:

Ejemplo: Pasaremos el número 158 al sistema decimal.

  • Pasa de un número en la base b, a un número en la base a: Primero vamos a la base 10 (usando el paso 1) y luego vamos de la base decimal a la base a (usando el paso 2).

Sistemas de numeración más usados

 

Sistemas numéricos posicionales

En el sistema de números decimales, se dice que la base o raíz es 10 porque utiliza 10 dígitos, y los coeficientes se multiplican por potencias de 10.

El sistema binario sólo tiene dos valores posibles que son 0 y 1, en los que cada coeficiente AJ se multiplica por 2J.

Sistema Binario o Sistema Dialógico

En el sistema binario la base es el 2 y sólo se requieren dos dígitos, el 0 y el 1 por lo tanto para representar un número. Los dígitos 0 y 1 tienen el mismo significado que en el sistema decimal, pero difieren en la posición que ocupan.

En el sistema binario el dígito único representa el coeficiente de las potencias de dos (2) en lugar de diez (10) como en el sistema decimal. El valor de cualquier número expresado en el sistema numérico binario es igual a la suma de los términos que resultan de multiplicar cada una de las cifras que constituyen el número en cuestión por las potencias de 2 correspondientes a la posición que ocupa esa cifra dentro del número.

Sistema decimal

Es el sistema que se utiliza habitualmente, base 10 y tiene diez dígitos, del 0 al 9. El valor de cualquier número expresado en este sistema es igual a la suma de los términos que resultan de multiplicar cada uno de los dígitos que componen el número en cuestión por la potencia de 10 que corresponde a la posición que ocupa el dígito dentro del número.

Para escribir un número mayor que 9, se asigna un significado a la posición de cada dígito en el número entero.

Sistema Octal

Como el sistema decimal, el sistema octal necesita ocho dígitos para expresar o representar cualquier número. La base de este sistema es el 8. Consiste en los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7.

Sistema hexadecimal

Este sistema necesita 16 dígitos como base para expresar o representar cualquier número, los primeros diez dígitos de este sistema coinciden con los del sistema numérico decimal y los seis dígitos restantes se toman como las seis primeras letras (mayúsculas) del alfabeto: A,B,C,D,E,F, es decir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F.

Por primera vez aparecerán combinaciones de dígitos, uno de los cuales puede ser una letra pero que a efectos del sistema hexadecimal se considera un número. Como en los dos casos anteriores, el valor de cualquier número expresado en el sistema numérico hexadecimal es igual a la suma de los términos que resultan de multiplicar cada una de las cifras que constituyen el número en cuestión por la potencia de 16 que corresponde según la posición que ocupa la cifra dentro del número.

Descomposición polinómica

La descomposición polinómica de un número consiste en expresar ese número como una suma, donde cada sumando es cada dígito del número multiplicado por una potencia de 10, cuyo exponente es una unidad menos que la posición ocupada por el dígito que lo multiplica.

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