Valor absoluto

Valor absoluto
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o el cero de una línea numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico independientemente de su signo, ya sea positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, como |x| (que se lee como un módulo de x).

Valor absoluto

El valor absoluto se define como:

|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0

DEFINICIONES EQUIVALENTES

Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos maneras siguientes:

|x| = √(x2)
|x| es igual al máximo de { x, -x }

PROPIEDADES

PROPIEDADES CLAVE

  • |x| No hay negatividad.
  • |x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva
  • |x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa
  • ≤ Desigualdad triangular

OTRAS PROPIEDADES

  • |-x| = |x| Simetría
  • |a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de los indiscernibles
  • |a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular
  • |a – b| ≥ |(|a| – |b|)| (equivalente a la propiedad aditiva)
  • |x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes condiciones:

  • |x| = x ; si x ≥ 0
  • |x| = -x ; si x < 0

En una línea numérica, las representaciones de los valores absolutos de un número real son la distancia entre el número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la distancia de tres unidades a cero.

Ecuación e Inecuación con valor absoluto

Para las desigualdades con valor absoluto, utilizaremos cinco teoremas adicionales de los cuales x, a ∈ ℝ.

Teorema 13:

|x| < a ⇔ {a ≥ 0 ∧ -a < x < a }

Teorema 14:

|x| ≤ a ⇔ {a ≥ 0 ∧ -a ≤ x ≤ a }

Teorema 15:

|x| > a ⇔ { x < -a v x > a }

Teorema 16:

|x| ≥ a ⇔ { x ≤ -a v x ≥ a }

Teorema 17:

|x| < |a| ⇔ x2 < y2

Vídeos de Valor absoluto